Si V y W son k-espacios vectoriales de dimensión n y respectivamente, una transformación lineal f:V-->W queda univocamente determinada por los n vectores de W que son los valore de f en una base cualquiera de V.
Además, fijada una base de W, estos n vectores quedan determinados por medio de sus vectores de coordenadas en k^m. Se define entonces una matriz asociada a f que contiene toda esta información.
Sean V y W dos k-espacios vectoriales de dimensión finita. Sean B1={V1,...,Vn} una base de V y B2={W1,...,Wn} una base de W. Sea f:V-->W una transformación lineal. Supongamos que (Vj)=
Σ(i=1->m) αijWi (1<=j<=n).
Se llama matriz de f en las bases B1,B2, y se nota |f|B1B2, a la matriz en K^mxn definida por (|f|B1B2)ij=
αij para cada 1<=i<=m, 1<=j<=n,
Ejemplo.
Sea f:R^3-->R^2, f(x1,x2,x3)=(x1+2(x2)-x3, x1+3(x2)), y sean B1 y B2 las bases canónicas de R^3 y R^2 respectivamente. Se tiene que:
f(1,0,0)=(1,1), f(0,1,0)=(2,3), f(0,0,1)=(-1,0)
Entonces |f|B1B2= {(1,2,-1) ; (1,3,0)}.
Observaciones
Si consideramos una transformación lineal asociada a una matriz A ∈
K^n×m, fA:k^m-->k^n definida por fA(x)=Ax, entonces, a partir de la definición anterior, la matriz de fA en las bases canónicas E y E' de K^m y K^n respectivamente resulta ser |fA|EE'=A.
Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n, y sean B1 y B2 bases de V. Entonces |idv|B1B2=C(B1,B2), la matriz de cambio de base de B1 a B2.
Mediante el uso de las matrices y de vectores de coordenadas, toda transformación lineal puede representarse como la multiplicación por una matriz fija,
Proposición
Sean V y W dos k-espacios vectoriales de dimensión finita, y sea f: V-->W una transformación lineal. Si B1 Y B2 son bases de V y W respectivamente, entonces para cada x ∈ V,
|f|B1B2.(x)B1=(f(x))B2
