CAMBIO DE BASE DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Coordenadas de un vector en una base
Sea E un espacio vectorial sobre un campo F, E=(e1,...,en) una base en E. Dado a ∈ , existe una única tupla  (λ1, . . . , λn) ∈ F^n tal que

Los escalares λ1, . . . , λn son coordenadas de a en la base E, el vector (λ1, . . . , λn)^ T es el vector de coordenadas y se denota por xE.   

Matriz de cambio de base

Sean E = (e1, . . . , en), F = (f1, . . . , fn) bases en E. Entonces la matriz compuesta de las columnas (f1)F, . . . ,(fn)F se llama matriz del cambio de base de E por F y se denota por PE-->F. Las coordenadas de un vector a en dos bases E y F son relacionadas mediante la siguiente regla:

                                                                       xE = PE-->fXf

EJEMPLO
Sea A = (a1, a2, a3) una base en E y B = (b1, b2, b3), donde

                           b1 = 3a1 − 2a2 + 4a3, b2 = 4a1 + a2 + 5a3, b3 = 7a1 − a2 + 6a3.

 Consideremos la matriz del sistema B en base A:

                                            P A-->B= {(3,4,7) ; (-2,1.-1) ; (4,5,6)}

Como det(P A-->B) = −33, la matriz P A-->B es invertible, y por eso B es una base.

PROPIEDADES

Sean A, B, C bases en un espacio vectorial. Entonces:

• P A→C = P A→B P B→C. 
• P A→A = I. 
• P B→A = P −1 A→B .