El vector característico o propio ῡ de la matriz A de n
x n es una matriz de n x 1 tal que Aῡ = λῡ donde λ es un valor escalar
real que recibe el nombre de valor característico o propio.
La alternativa más obvia sería el vector
característico cero. Este último se descarta ya que la
condición Aῡ = λῡ se cumpliría
para cualquier valor de λ teniendo
entonces un número infinito de soluciones para λ.
Con la finalidad de encontrar el valor de λ, se analiza la expresión Aῡ=λῡ de la
cual λῡ se puede escribir como (λI)ῡ y, por lo tanto,
λῡ =Aῡ
λῡ -Aῡ=0
(λI)ῡ -A ῡ=0
(λI -A) ῡ=0
esta última representa un sistema homogéneo de n ecuaciones
que tiene al menos la solución trivial. La única manera de que tenga
soluciones no triviales es que
det(λI -A)=0
La ecuación det(λI -A)=0 recibe
el nombre de ecuación o polinomio característico de A.
Se puede demostrar que det(λI -A) es un polinomio cuyo grado coincide con el tamaño
de la matriz A; sea n. Se llama polinomio característico. Como mucho tiene n
raíces distintas.
Ejemplo
Sea A una
matriz
Determinar sus valores y vectores propios.
La matriz
identidad I multiplicada por λ para matrices 2x2 queda
La diferencia
cuyo
determinante se puede escribir
que es el polinomio característico. Mediante factorizacion o por la fórmula general obtenemos sus raíces, o valores
característicos,
λ1=3 , λ2=-2
Para
encontrar los vectores propios de la matriz A se utiliza (λI -A) ῡ=0
donde ῡ es el vector propio:
Substituyendo λ1 se
tiene
que representa el siguiente sistema homogéneo de
ecuaciones lineales:
-x-y=0
6x+6y=0
cuya solución es x=-y y y es
variable libre. De modo que el vector propio que corresponde
a λ1 es:
Si y =
1
A manera de comprobación se puede verificar que Aῡ1=λ1ῡ1.
El segundo vector propio se obtiene, de la misma
manera, sustituyendo λ2,
y queda
de donde el vector ῡ2 es
Si y =
6
Se puede verificar que Aῡ2=λ2ῡ2.
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