FUENTES DE INFORMACION

TRANSFORMACIONES LINEALES

• https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-5---transformaciones-lineales/5-1-introduccion-a-las-transformaciones-lineales
• http://www.matem.unam.mx/~rgomez/algebra/seccion_2.html
• http://www.dcb.unam.mx/users/normapla/Guia%20TEMA%203%20(Transformaciones%20Lineales).pdf
• http://mitecnologico.com/igestion/Main/IntroduccionALasTransformacionesLineales
• http://mate.dm.uba.ar/~jeronimo/algebra_lineal/Capitulo3.pdf

ESPACIOS VECTORIALES

• http://www.uco.es/geometria/documentos/Tema3Biologia_EspaciosVectoriales.pdf
• http://www.ugr.es/~rcamino/docencia/geo1-03/g1tema1.pdf
• http://mate.dm.uba.ar/~jeronimo/algebra_lineal/Capitulo1.pdf
• http://www.matem.unam.mx/~rgomez/algebra/seccion_1.html

VECTORES CARACTERÍSTICOS

• http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/VI%20Valores%20y%20Vectores%20Propios/01%20propios.htm

VALORES Y VECTORES PROPIOS

El vector característico o propio   ῡ  de la matriz A de n x n es una matriz de n x 1   tal que   Aῡ ₌ λῡ   donde λ es un valor escalar real que recibe el nombre de valor característico o propio.

  

La alternativa más obvia sería el vector característico cero.  Este último se descarta ya que la condición  Aῡ ₌ λῡ  se cumpliría para cualquier valor de λ teniendo entonces un número infinito de soluciones para λ. 

Con la finalidad de encontrar el valor de λ, se analiza la expresión Aῡ=λῡ   de la cual λῡ se puede escribir como (λI)ῡ y, por lo tanto, 

λῡ =Aῡ  

λῡ -Aῡ=0

(λI)ῡ -A ῡ=0

(λI -A) ῡ=0

esta última representa un sistema homogéneo de n ecuaciones que tiene al menos la solución trivial.  La única manera de que tenga soluciones no triviales es que

det(λI -A)=0

La ecuación det(λI -A)=0 recibe el nombre de ecuación o polinomio característico de A.

 Se puede demostrar que det(λI -A) es un polinomio cuyo grado coincide con el tamaño de la matriz A; sea n. Se llama polinomio característico. Como mucho tiene n raíces distintas.

Ejemplo 

Sea A una matriz                        

Determinar sus valores y vectores propios.

La matriz identidad I multiplicada por λ para matrices 2x2 queda

   

La diferencia         

cuyo determinante se puede escribir

que es el polinomio característico.   Mediante factorizacion o por la fórmula general obtenemos sus raíces, o valores característicos,

λ₁=3  ,    λ₂=-2

Para encontrar los vectores propios de la matriz A se utiliza (λI -A) ῡ=0

  donde ῡ  es el vector propio:

Substituyendo λ₁ se tiene

que representa el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales:

-x-y=0

6x+6y=0

cuya solución es x=-y   y  y es variable libre.   De modo que el vector propio que corresponde a λ₁  es:

Si   y = 1

A manera de comprobación se puede verificar que Aῡ₁=λ₁ῡ₁.

El segundo vector propio se obtiene, de la misma manera, sustituyendo λ₂, y  queda

de donde el vector ῡ₂ es

Si  y = 6

Se puede verificar que  Aῡ₂=λ₂ῡ₂.

CAMBIO DE BASE DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Coordenadas de un vector en una base
Sea E un espacio vectorial sobre un campo F, E=(e1,...,en) una base en E. Dado a ∈ , existe una única tupla  (λ1, . . . , λn) ∈ F^n tal que

Los escalares λ1, . . . , λn son coordenadas de a en la base E, el vector (λ1, . . . , λn)^ T es el vector de coordenadas y se denota por xE.   

Matriz de cambio de base

Sean E = (e1, . . . , en), F = (f1, . . . , fn) bases en E. Entonces la matriz compuesta de las columnas (f1)F, . . . ,(fn)F se llama matriz del cambio de base de E por F y se denota por PE-->F. Las coordenadas de un vector a en dos bases E y F son relacionadas mediante la siguiente regla:

                                                                       xE = PE-->fXf

EJEMPLO
Sea A = (a1, a2, a3) una base en E y B = (b1, b2, b3), donde

                           b1 = 3a1 − 2a2 + 4a3, b2 = 4a1 + a2 + 5a3, b3 = 7a1 − a2 + 6a3.

 Consideremos la matriz del sistema B en base A:

                                            P A-->B= {(3,4,7) ; (-2,1.-1) ; (4,5,6)}

Como det(P A-->B) = −33, la matriz P A-->B es invertible, y por eso B es una base.

PROPIEDADES

Sean A, B, C bases en un espacio vectorial. Entonces:

• P A→C = P A→B P B→C. 
• P A→A = I. 
• P B→A = P −1 A→B .

                                                          

MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN MATRICIAL

Si V y W son k-espacios vectoriales de dimensión n y  respectivamente, una transformación lineal f:V-->W queda univocamente determinada por los n vectores de W que son los valore de f en una base cualquiera de V. 

Además, fijada una base de W, estos n vectores quedan determinados por medio de sus vectores de coordenadas en k^m. Se define entonces una matriz asociada a f que contiene toda esta información.

Sean V y W dos k-espacios vectoriales de dimensión finita. Sean B1={V1,...,Vn} una base de V y B2={W1,...,Wn} una base de W. Sea f:V-->W una transformación lineal. Supongamos que (Vj)= Σ(i=1->m) αijWi (1<=j<=n).

Se llama matriz de f en las bases B1,B2, y se nota |f|B1B2, a la matriz en K^mxn definida por (|f|B1B2)ij=αij para cada 1<=i<=m, 1<=j<=n,

Ejemplo.

Sea f:R^3-->R^2, f(x1,x2,x3)=(x1+2(x2)-x3, x1+3(x2)), y sean B1 y B2 las bases canónicas de R^3 y R^2 respectivamente. Se tiene que:

                          f(1,0,0)=(1,1),    f(0,1,0)=(2,3),     f(0,0,1)=(-1,0)

Entonces |f|B1B2= {(1,2,-1) ; (1,3,0)}.

Observaciones 

Si consideramos una transformación lineal asociada a una matriz A ∈ K^n×m, fA:k^m-->k^n definida por fA(x)=Ax, entonces, a partir de la definición anterior, la matriz de fA en las bases canónicas E y E' de K^m y K^n respectivamente resulta ser |fA|EE'=A.

Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n, y sean B1 y B2 bases de V. Entonces |idv|B1B2=C(B1,B2), la matriz de cambio de base de B1 a B2.

Mediante el uso de las matrices y de vectores de coordenadas, toda transformación lineal puede representarse como la multiplicación por una matriz fija,

Proposición

Sean V y W dos k-espacios vectoriales de dimensión finita, y sea f: V-->W una transformación lineal. Si B1 Y B2 son bases de V y W respectivamente, entonces para cada x  ∈ V,

                                                            |f|B1B2.(x)B1=(f(x))B2

COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES

La composición de funciones usual puede realizarse, en particular, entre dos transformaciones lineales. El resultado es, en este caso, una nueva transformación lineal.

PROPOSICIÓN

Sean V, W y Z K-espacios vectoriales. Sean f : V → W y g : W → Z transformaciones lineales. Entonces g ◦ f : V → Z es una transformación lineal.

Demostración. Sean v, v0 ∈ V . Entonces

g ◦ f(v + v') = g ( f(v + v' ) ) = g ( f(v) + f(v' ) ) = g(f(v)) + g(f(v' )) = g ◦ f(v) + g ◦ f(v' ).

Análogamente, si λ ∈ K y v ∈ V , se tiene que
g ◦ f(λ · v) = g(f(λ · v)) = g(λ · f(v)) = λ · g(f(v)) = λ · (g ◦ f(v)).

Finalmente, analizamos las propiedades de la función inversa de una transformación lineal biyectiva (es decir, un isomorfismo).

PROPOSICIÓN

Sean V y W dos K-espacios vectoriales y sea f : V → W una transformación lineal. Si f es un isomorfismo, entonces f −1 : W → V es una transformación lineal (que resulta ser un isomorfismo).

Demostración. Sean w, w0 ∈ W. Como f es un isomorfismo, existen únicos v, v0 ∈ V tales que w = f(v) y w 0 = f(v 0 ). Entonces

f^−1 (w + w´) = f^−1 (f(v) + f(v')) = f ^−1 (f(v + v' )) = v + v' = f−1 (w) + f ^−1 (w' ).

Dados w ∈ W y λ ∈ K, existe un único v ∈ V tal que w = f(v). Entonces
f^−1 (λ · w) = f ^−1 (λ · f(v)) = f^ −1 (f(λ · v)) = λ · v = λ · (f ^−1 (w)).

Luego, f^ −1 es una transformación lineal. Es claro que es biyectiva.

NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

A una transformación lineal F:V-->W podemos asociarle un subespacio de V, llamado su núcleo, que de alguna manera mide el tamaño de la pre-imagen por f de un elemento de su imagen. En particular, conocer este subespacio nos permitirá determinar si f es inyectiva.

Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V --> W una transformación lineal. Se llama núcleo de f al conjunto Nu(f) = {v ∈ V / f(v) = 0} = f^ −1 ({0}).

Observamos que si f : V --> W es una transformación lineal, Nu(f) es un subespacio de V , puesto que es la pre-imagen por f del subespacio {0} ⊂ W.

EJEMPLO

Sea f : R 3 --> R 2 la transformación lineal definida por f(x1, x2, x3) = (x1, x2). Entonces 

                                     Nu(f) = {(x1, x2, x3) ∈ R 3 : f(x1, x2, x3) = 0}

                                     = {(x1, x2, x3) ∈ R 3 : x1 = x2 = 0} 

                                     = < (0, 0, 1) > . 

PROPOSICIÓN 

Sea f : V --> W una transformaci´on lineal. 

Entonces f es monomorfismo <==> Nu(f) = {0}

DEMOSTRACIÓN 

• Si f es un monomorfismo, entonces es una función inyectiva. En particular, existe a lo sumo un elemento v ∈ V tal que f(v) = 0. Puesto que f(0) = 0, debe ser v = 0. Luego, Nu(f) = {0}
• Sean v, v0 ∈ V . Supongamos que f(v) = f(v 0 ). Entonces f(v − v 0 ) = f(v) − f(v 0 ) = 0, con lo que v−v 0 ∈ Nu(f) y por lo tanto, la hipótesis Nu(f) = {0} implica que v−v 0 = 0, es decir, v = v 0 . Luego f es inyectiva.

 Otro conjunto importante asociado a una transformación lineal es su imagen. Recordamos que si f : V → W, su imagen se define como Im(f) = {w ∈ W / ∃ v ∈ V, f(v) = w}. De la Proposición se desprende que la imagen de una transformación lineal f : V → W resulta ser un subespacio de W.

EJEMPLO

Hallar la imagen de la transformación lineal f : R 3 → R 3 definida como f(x1, x2, x3) = (x1 − x2, −x1 + x2, 2x1 − 2x2 + x3). 

Por definición,

                                      Im(f) = {y ∈ R 3 / ∃ x ∈ R 3 , f(x) = y} 

                                       = {y ∈ R 3 / ∃ (x1, x2, x3) ∈ R 3 , (x1 − x2, x1 − x2, 2x1 − 2x2 + x3) = y}.

 Entonces, un elemento de y pertenece a Im(f) si y sólo si es de la forma 

  

                                      y = (x1 − x2, −x1 + x2, 2x1 − 2x2 + x3) 

                                       = (x1, −x1, 2x1) + (−x2, x2, −2x2) + (0, 0, x3) 

                                       = x1.(1, −1, 2) + x2.(−1, 1, −2) + x3.(0, 0, 1).

Luego, Im(f) = < (1, −1, 2),(−1, 1, −2),(0, 0, 1) > = < (1, −1, 2),(0, 0, 1) >.

EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES

1.Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Entonces 0:V-->W, definida por 0(x)=0w ∀ x ∈ V, es una transformación lineal.

2. Si V es un K-espacio vectorial, id : V --> V definida por id(x) = x es una transformación lineal.

3. Sea A ∈ Km×n. Entonces fA : Kn → Km definida por fA(x) = (A.xt ) t es una transformación lineal.

4. f : K[X] → K[X], f(P) = P 0 es una transformación lineal.

5. F : C(R) → R, donde C(R) = {f : R --> R | f es continua}, F(g) = R 1 0 g(x) dx es una transformación lineal.

Las transformaciones lineales respetan la estructura de K-espacio vectorial. Esto hace que en algunos casos se respete la estructura de subespacio, por ejemplo en las imágenes y pre-imágenes de subespacios por transformaciones lineales:

Sea f : V → W una transformación lineal. Entonces:

1. Si S es un subespacio de V , entonces f(S) es un subespacio de W. 

2. Si T es un subespacio de W, entonces f −1 (W) es un subespacio de V .

Demostración.

1. Sea S ⊆ V un subespacio y consideremos f(S) = {w ∈ W / ∃ s ∈ S, f(s) = w}.

(a) 0W ∈ f(S), puesto que f(0V ) = 0W y 0V ∈ S.

(b) Sean w, w0 ∈ f(S). Entonces existen s, s0 ∈ S tales que w = f(s) y w 0 = f(s 0 ). Luego w + w 0 = f(s) + f(s 0 ) = f(s + s 0 ) ∈ f(S), puesto que s + s 0 ∈ S. 

(c) Sean λ ∈ K y w ∈ f(S). Existe s ∈ S tal que w = f(s). Entonces λ·w = λ·f(s) = f(λ · s) ∈ f(S), puesto que λ · s ∈ S.

2. Sea T un subespacio de W y consideremos f ^−1 (T) = {v ∈ V / f(v) ∈ T}.

(a) 0V ∈ f^ −1 (T), puesto que f(0V ) = 0W ∈ T. 

(b) Sean v, v0 ∈ f^ −1 (T). Entonces f(v), f(v 0 ) ∈ T y, por lo tanto, f(v + v 0 ) = f(v) + f(v 0 ) ∈ T. Luego v + v 0 ∈ f^ −1 (T). 

(c) Sean λ ∈ K, v ∈ f ^−1 (T). Entonces f(v) ∈ T y, en consecuencia, f(λ·v) = λ·f(v) ∈ T. Luego λ · v ∈ f ^−1 (T).