EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES

1.Sean V y W dos K-espacios vectoriales. Entonces 0:V-->W, definida por 0(x)=0w ∀ x ∈ V, es una transformación lineal.

2. Si V es un K-espacio vectorial, id : V --> V definida por id(x) = x es una transformación lineal.

3. Sea A ∈ Km×n. Entonces fA : Kn → Km definida por fA(x) = (A.xt ) t es una transformación lineal.

4. f : K[X] → K[X], f(P) = P 0 es una transformación lineal.

5. F : C(R) → R, donde C(R) = {f : R --> R | f es continua}, F(g) = R 1 0 g(x) dx es una transformación lineal.

Las transformaciones lineales respetan la estructura de K-espacio vectorial. Esto hace que en algunos casos se respete la estructura de subespacio, por ejemplo en las imágenes y pre-imágenes de subespacios por transformaciones lineales:

Sea f : V → W una transformación lineal. Entonces:

1. Si S es un subespacio de V , entonces f(S) es un subespacio de W. 

2. Si T es un subespacio de W, entonces f −1 (W) es un subespacio de V .

Demostración.

1. Sea S ⊆ V un subespacio y consideremos f(S) = {w ∈ W / ∃ s ∈ S, f(s) = w}.

(a) 0W ∈ f(S), puesto que f(0V ) = 0W y 0V ∈ S.

(b) Sean w, w0 ∈ f(S). Entonces existen s, s0 ∈ S tales que w = f(s) y w 0 = f(s 0 ). Luego w + w 0 = f(s) + f(s 0 ) = f(s + s 0 ) ∈ f(S), puesto que s + s 0 ∈ S. 

(c) Sean λ ∈ K y w ∈ f(S). Existe s ∈ S tal que w = f(s). Entonces λ·w = λ·f(s) = f(λ · s) ∈ f(S), puesto que λ · s ∈ S.

2. Sea T un subespacio de W y consideremos f ^−1 (T) = {v ∈ V / f(v) ∈ T}.

(a) 0V ∈ f^ −1 (T), puesto que f(0V ) = 0W ∈ T. 

(b) Sean v, v0 ∈ f^ −1 (T). Entonces f(v), f(v 0 ) ∈ T y, por lo tanto, f(v + v 0 ) = f(v) + f(v 0 ) ∈ T. Luego v + v 0 ∈ f^ −1 (T). 

(c) Sean λ ∈ K, v ∈ f ^−1 (T). Entonces f(v) ∈ T y, en consecuencia, f(λ·v) = λ·f(v) ∈ T. Luego λ · v ∈ f ^−1 (T).