COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES LINEALES

La composición de funciones usual puede realizarse, en particular, entre dos transformaciones lineales. El resultado es, en este caso, una nueva transformación lineal.

PROPOSICIÓN

Sean V, W y Z K-espacios vectoriales. Sean f : V → W y g : W → Z transformaciones lineales. Entonces g ◦ f : V → Z es una transformación lineal.

Demostración. Sean v, v0 ∈ V . Entonces

g ◦ f(v + v') = g ( f(v + v' ) ) = g ( f(v) + f(v' ) ) = g(f(v)) + g(f(v' )) = g ◦ f(v) + g ◦ f(v' ).

Análogamente, si λ ∈ K y v ∈ V , se tiene que
g ◦ f(λ · v) = g(f(λ · v)) = g(λ · f(v)) = λ · g(f(v)) = λ · (g ◦ f(v)).

Finalmente, analizamos las propiedades de la función inversa de una transformación lineal biyectiva (es decir, un isomorfismo).

PROPOSICIÓN

Sean V y W dos K-espacios vectoriales y sea f : V → W una transformación lineal. Si f es un isomorfismo, entonces f −1 : W → V es una transformación lineal (que resulta ser un isomorfismo).

Demostración. Sean w, w0 ∈ W. Como f es un isomorfismo, existen únicos v, v0 ∈ V tales que w = f(v) y w 0 = f(v 0 ). Entonces

f^−1 (w + w´) = f^−1 (f(v) + f(v')) = f ^−1 (f(v + v' )) = v + v' = f−1 (w) + f ^−1 (w' ).

Dados w ∈ W y λ ∈ K, existe un único v ∈ V tal que w = f(v). Entonces
f^−1 (λ · w) = f ^−1 (λ · f(v)) = f^ −1 (f(λ · v)) = λ · v = λ · (f ^−1 (w)).

Luego, f^ −1 es una transformación lineal. Es claro que es biyectiva.