TEOREMA: Los espacios vectoriales de la
misma dimensión son isomorfos.
Es decir, todos los espacios vectoriales de la
misma dimensión son, algebraicamente hablando, iguales. De esta manera, al estudiar un
espacio vectorial cualquiera V, de dimensión n,
se puede trabajar con vectores del espacio R^n y
el resultado aplicarlo al espacio V.
Un espacio vectorial V es isomorfo con el
espacio vectorial Rn si se establece una función
biyectiva : n fV R --> entre ambos tal que
∀ ∈ uv V , y ∀ ∈ α R se cumple que:
f(u+v)=f(u)+f(v)
f(α*u)=α*f(u)
Cuando se tienen matrices o polinomios, es
posible aplicar el concepto de “isomorfismo” si
se requiere escribir estos vectores como los
renglones de una matriz (por ejemplo, para
transformar una matriz a su forma canónica
escalonada), o bien, en otros casos, se puede
utilizar el isomorfismo para facilitar las
operaciones algebraicas.
En la siguiente tabla se
proporcionan ejemplos de isomorfismos entre Rn
y otros espacios vectoriales:
Para llevar a cabo el isomorfismo, los polinomios
pueden ser de cualquier grado y las matrices de cualquier
dimensión m×n.
No hay comentarios:
Publicar un comentario