NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

A una transformación lineal F:V-->W podemos asociarle un subespacio de V, llamado su núcleo, que de alguna manera mide el tamaño de la pre-imagen por f de un elemento de su imagen. En particular, conocer este subespacio nos permitirá determinar si f es inyectiva.

Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V --> W una transformación lineal. Se llama núcleo de f al conjunto Nu(f) = {v ∈ V / f(v) = 0} = f^ −1 ({0}).

Observamos que si f : V --> W es una transformación lineal, Nu(f) es un subespacio de V , puesto que es la pre-imagen por f del subespacio {0} ⊂ W.

EJEMPLO

Sea f : R 3 --> R 2 la transformación lineal definida por f(x1, x2, x3) = (x1, x2). Entonces 

                                     Nu(f) = {(x1, x2, x3) ∈ R 3 : f(x1, x2, x3) = 0}

                                     = {(x1, x2, x3) ∈ R 3 : x1 = x2 = 0} 

                                     = < (0, 0, 1) > . 

PROPOSICIÓN 

Sea f : V --> W una transformaci´on lineal. 

Entonces f es monomorfismo <==> Nu(f) = {0}

DEMOSTRACIÓN 

• Si f es un monomorfismo, entonces es una función inyectiva. En particular, existe a lo sumo un elemento v ∈ V tal que f(v) = 0. Puesto que f(0) = 0, debe ser v = 0. Luego, Nu(f) = {0}
• Sean v, v0 ∈ V . Supongamos que f(v) = f(v 0 ). Entonces f(v − v 0 ) = f(v) − f(v 0 ) = 0, con lo que v−v 0 ∈ Nu(f) y por lo tanto, la hipótesis Nu(f) = {0} implica que v−v 0 = 0, es decir, v = v 0 . Luego f es inyectiva.

 Otro conjunto importante asociado a una transformación lineal es su imagen. Recordamos que si f : V → W, su imagen se define como Im(f) = {w ∈ W / ∃ v ∈ V, f(v) = w}. De la Proposición se desprende que la imagen de una transformación lineal f : V → W resulta ser un subespacio de W.

EJEMPLO

Hallar la imagen de la transformación lineal f : R 3 → R 3 definida como f(x1, x2, x3) = (x1 − x2, −x1 + x2, 2x1 − 2x2 + x3). 

Por definición,

                                      Im(f) = {y ∈ R 3 / ∃ x ∈ R 3 , f(x) = y} 

                                       = {y ∈ R 3 / ∃ (x1, x2, x3) ∈ R 3 , (x1 − x2, x1 − x2, 2x1 − 2x2 + x3) = y}.

 Entonces, un elemento de y pertenece a Im(f) si y sólo si es de la forma 

  

                                      y = (x1 − x2, −x1 + x2, 2x1 − 2x2 + x3) 

                                       = (x1, −x1, 2x1) + (−x2, x2, −2x2) + (0, 0, x3) 

                                       = x1.(1, −1, 2) + x2.(−1, 1, −2) + x3.(0, 0, 1).

Luego, Im(f) = < (1, −1, 2),(−1, 1, −2),(0, 0, 1) > = < (1, −1, 2),(0, 0, 1) >.