ESPACIO VECTORIAL

Es un conjunto constituido por un numero infinito de vectores, para los cuales se han definido las operaciones de adición y multiplicación por un escalar, y ademas están definidos sobre un determinado campo K.

Los vectores V1,V2,V3,...Vn pueden tener distintas formas, por ejemplo:

R^2:V = (X,Y) ----> Vector en dos dimensiones.

R^3:V = (X,Y,Z)--->Vector en tres dimensiones

M2:V = {(a , b);(c , d)}---> matriz cuadrada 2*2

P:V = ax^2+bx+c ---> polinomio de grado menor o igual a dos.

F:V = f(x) ---> función de cualquier forma

• Operaciones de adición y multiplicación por un escalar para estos conjuntos generalmente no son las usuales.
• En cada axioma se debe escribir si se cumple o no se cumple y al final del problema, si el conjunto es o no un espacio vectorial.

Para que un determinado conjunto sea un espacio vectorial, debe satisfacer los siguientes 10 axiomas:

        Sean V un determinado conjunto; y U,V,W vectores que є V.

    1.Cerradura para la suma:

    

            U+V є V

    2.Propiedad conmutativa de la suma:

            U+V=V+U

    3.Propiedad asociativa de la suma:

            U+(V+W) = (U+V)+W

    4.Existencia de vector neutro e:

            e+U=U ---> por la izquierda

            U+e=U ---> por la derecha

    5.Existencia de inversos aditivos Z:

            z+U=e ---> por la izquierda

            U+z=e ---> por la derecha

    6.Cerradura para la multiplicación:

            αU є V

    7.Propiedad distributiva de la multiplicación para la suma de       vectores:

             

            α(U+V)=αU+αV

    8.Propiedad distributiva de la multiplicación para la suma de       escalares:

            (α+β)U=αU+βU

         9.Propiedad asociativa de la multiplicación:

             α(βU)=(α+β)U

         10.Existencia de unidad:

             1*U=U