MATRIZ DE TRANSICION

Sea el espacio vectorial V:

            A={U1,U2,U3}

      

            B={W1,W2,W3}

Si se escriben los vectores de la Base A como combinación lineal de los vectores de la Base B:

U1=a1w1+a2w2+a3w3 --> (U1)b=[a1 a2 a3]T

U2=b1w1+b2w2+b3w3 --> (U1)b=[b1 b2 b3]T

U3=c1w1+c2w2+c3w3 --> (U1)b=[c1 c2 c3]T

donde (U1)b, (U2)b, (U3)b  son los vectores de coordenadas de U1 ,U2 ,U3 en la Base B, respectivamente.

La matriz de transición de la Base A a la Base B, M a,b se forma con los vectores de coordenadas de las combinaciones lineales anteriores:

M a,b= {(a1,b1,c1); (a2,b2,c2); (a3, b3, c3)}

CARACTERÍSTICAS DE LA MATRIZ DE TRANSICIÓN: 

• Sus columnas son vectores de coordenadas obtenidos a partir de la combinación lineal de una base respecto a otra.
• Son matrices cuadradas (por ser combinaciones lineales entre bases). 
• Siempre tienen inversa (por ser matrices cuadradas y cumplir det≠0). 

La matriz de transición permite el cambio de coordenadas de una base a otra; por tanto, con la matriz de transición es posible calcular el vector de coordenadas:

(V)b=M a,b (V)a --> vector de coordenadas de V en la base A.

Ademas puesto que la matriz de transición siempre tiene inversa, es posible calcular M b,a, a partir de la matriz M a,b, con tan solo determinar su inversa, es decir:

M b,a = (Ma,b)^-1