A una transformación lineal F:V-->W podemos asociarle un subespacio de V, llamado su núcleo, que de alguna manera mide el tamaño de la pre-imagen por f de un elemento de su imagen. En particular, conocer este subespacio nos permitirá determinar si f es inyectiva.
Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V --> W una transformación
lineal. Se llama núcleo de f al conjunto Nu(f) = {v ∈ V / f(v) = 0} = f^ −1
({0}).
Observamos que si f : V --> W es una transformación lineal, Nu(f) es un subespacio de
V , puesto que es la pre-imagen por f del subespacio {0} ⊂ W.
EJEMPLO
Sea f : R
3 --> R
2
la transformación lineal definida por f(x1, x2, x3) = (x1, x2).
Entonces
Nu(f) = {(x1, x2, x3) ∈ R
3
: f(x1, x2, x3) = 0}
= {(x1, x2, x3) ∈ R
3
: x1 = x2 = 0}
= < (0, 0, 1) > .
PROPOSICIÓN
Sea f : V --> W una transformaci´on lineal.
Entonces
f es monomorfismo <==> Nu(f) = {0}
DEMOSTRACIÓN
- Si f es un monomorfismo, entonces es una función inyectiva. En particular, existe a lo
sumo un elemento v ∈ V tal que f(v) = 0. Puesto que f(0) = 0, debe ser v = 0. Luego,
Nu(f) = {0}
- Sean v, v0 ∈ V . Supongamos que f(v) = f(v
0
). Entonces f(v − v
0
) = f(v) − f(v
0
) = 0,
con lo que v−v
0 ∈ Nu(f) y por lo tanto, la hipótesis Nu(f) = {0} implica que v−v
0 = 0,
es decir, v = v
0
. Luego f es inyectiva.
Otro conjunto importante asociado a una transformación lineal es su imagen. Recordamos
que si f : V → W, su imagen se define como Im(f) = {w ∈ W / ∃ v ∈ V, f(v) = w}. De la
Proposición se desprende que la imagen de una transformación lineal f : V → W resulta
ser un subespacio de W.
EJEMPLO
Hallar la imagen de la transformación lineal f : R
3 → R
3 definida como
f(x1, x2, x3) = (x1 − x2, −x1 + x2, 2x1 − 2x2 + x3).
Por definición,
Im(f) = {y ∈ R
3
/ ∃ x ∈ R
3
, f(x) = y}
= {y ∈ R
3
/ ∃ (x1, x2, x3) ∈ R
3
, (x1 − x2, x1 − x2, 2x1 − 2x2 + x3) = y}.
Entonces, un elemento de y pertenece a Im(f) si y sólo si es de la forma
y = (x1 − x2, −x1 + x2, 2x1 − 2x2 + x3)
= (x1, −x1, 2x1) + (−x2, x2, −2x2) + (0, 0, x3)
= x1.(1, −1, 2) + x2.(−1, 1, −2) + x3.(0, 0, 1).
Luego, Im(f) = < (1, −1, 2),(−1, 1, −2),(0, 0, 1) > = < (1, −1, 2),(0, 0, 1) >.
